桂林理工大學(xué)2020年碩士研究生入學(xué)考試試題（A卷）
考試科目代碼：874
考試科目名稱：概率統(tǒng)計(jì)
（總分150分，三小時(shí)答完）
考生注意：1．請將答題寫在答卷紙上，寫在試卷上視為無效。
2．考試需帶 用具
一 、填空題（本大題共9小題，每小題5分，共45分）
1．有兩個(gè)袋子，每個(gè)袋子都裝有只黑球，只白球。從第一個(gè)袋子中任取1只球放入第二個(gè)袋子中，充分混合后再從第二個(gè)袋子中任意取出1只球。則從第二個(gè)袋子中取得的是黑球的概率 。（注：每個(gè)袋子中的球只有顏色差別，其它特征均相同）
2．已知，，，則 。
3．已知為連續(xù)型隨機(jī)變量，概率密度函數(shù)為，為的分布函數(shù)，為的數(shù)學(xué)期望，則概率 。
4．已知隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為，其中參數(shù)，。則常數(shù) ；的期望 。
5．設(shè)隨機(jī)變量，且與相互獨(dú)立。則 。
6．設(shè)隨機(jī)變量服從均勻分布，，則的概率密度函數(shù) 。
7．某廠要從供應(yīng)商處購進(jìn)元件，雙方協(xié)商的驗(yàn)貨規(guī)則是：每批貨隨機(jī)地抽取5只進(jìn)行檢驗(yàn)，若抽檢的5只中的不合格品數(shù)不超過1，則該廠應(yīng)接收這批貨，其它情況則作退貨處理。若一批元件中有20%的為不合格品，則該廠接收這批貨的概率為 。（結(jié)果保留4位小數(shù)）
8．某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為p (0<p<1)，則此人第四次射擊恰好第二次命中目標(biāo)的概率為 。
9．已知總體，是來自總體的簡單隨機(jī)樣本。若統(tǒng)計(jì)量服從的分布為，則常數(shù) 。
二、計(jì)算解答題（本大題共9小題，共105分）
1（本小題11分）．某城市的K1和K2兩路公交車相互獨(dú)立地開行，都經(jīng)過站點(diǎn)A后開往同一終點(diǎn)站B。已知K1路公交車每隔5分鐘、K2路公交車每隔6分鐘經(jīng)過站點(diǎn)A。某乘客在任意時(shí)刻到達(dá)站點(diǎn)A乘坐K1或K2路公交車去往終點(diǎn)站B。試計(jì)算該乘客在站點(diǎn)A的候車時(shí)間不超過4分鐘的概率。
2（本小題12分）．設(shè)隨機(jī)變量的絕對值不大于1，，，在事件“”出現(xiàn)的條件下，在區(qū)間內(nèi)的任一子區(qū)間上取值的概率與該子區(qū)間的長度成正比。求：（I）的分布函數(shù)；（II）取負(fù)值的概率；（III）的期望。
3（本小題10分）．加工某種零件需要經(jīng)過兩道工序。第一道工序出現(xiàn)一等品的概率為0.9，出現(xiàn)二等品的概率為0.1；第一道工序加工完成后的一等品，在第二道工序中出現(xiàn)一等品的概率為0.8、出現(xiàn)二等品的概率為0.2；第一道工序加工完成后的二等品，在第二道工序中出現(xiàn)二等品或出現(xiàn)廢品的概率都是0.5。分別求經(jīng)過兩道工序加工完成后的零件是一等品、二等品、廢品的概率。
4（本小題10分）．設(shè)二維隨機(jī)向量服從正方形區(qū)域上的均勻分布，求的概率密度函數(shù)。
5（本小題15分）．設(shè)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為。（I）確定常數(shù)；（II）判斷的相互獨(dú)立性；（III）求期望。
6（本小題10分）．設(shè)二維隨機(jī)向量的概率密度函數(shù)為求與的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。
7（本小題10分）．某種元件的壽命取（以小時(shí)為單位）服從正態(tài)分布，，均未知。現(xiàn)抽取16個(gè)這種元件，測得樣本均值為241.5小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為98.73小時(shí)。請問在0.05的顯著性水平之下，是否有充分理由認(rèn)為元件的平均壽命大于225小時(shí)？（已知-分布的上側(cè)分位數(shù)，，，）
8（本小題12分）．對一批LED燈泡進(jìn)行使用壽命的檢驗(yàn)，隨機(jī)抽取100只組成抽檢樣本，測得此樣本的平均壽命為2000小時(shí)、標(biāo)準(zhǔn)差為50小時(shí)。（I）在95.45%的置信水平下，估計(jì)這批燈泡的平均壽命的置信區(qū)間；（II）如果取置信區(qū)間的長度等于30，即最大容許誤差為15小時(shí)，此時(shí)這個(gè)區(qū)間估計(jì)的置信度是多少（置信度用百分?jǐn)?shù)表示，結(jié)果保留2位小數(shù)）？（已知標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)值）。
9（本小題15分）．設(shè)總體的概率密度函數(shù)為其中和均為未知參數(shù)且，。已知為來自該總體的簡單隨機(jī)樣本。求：（I）參數(shù)、的最大似然估計(jì)量；（II）參數(shù)、的矩估計(jì)量。
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原文標(biāo)題：2020年考研真題
原文鏈接：https://yjsy.glut.edu.cn/info/1189/4400.htm
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