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考研數學:談二重積分的對比學習

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二重積分是數一、數二、數三均要考的內容,而二重積分的性質是我們在考研過程中務必要牢牢掌握的基本知識。二重積分的性質是考研中常考的內容,它的出題形式多樣化,既有獨立的題目,也有融入計算的題目,題目中既有書本中所列出的二重積分的性質的考察,也有書本中沒有列出的二重積分輪換對稱性的等知識點的考察。
 
對于二重積分的相關性質和結論是我們務必要熟練掌握的知識,這方面出題大都以選擇或者解答題的形式出現,多為中等難度題型。
 
首先,我們看二重積分的不等式性質。此性質在05年數三的真題中就出現過,當時是以選擇題的形式出現的。對于積分區域相同的二重積分,它們的大小就完全由在區域上被積函數的大小來決定,函數越大,積分值就越大。
 
二重積分的對稱性質,可分為普通對稱和輪換對稱。
 
關于普通對稱:當積分區域D關于x對稱,我們往往要考慮其被積函數是否為y的奇偶函數,當積分區域D關于y軸對稱時,我們往往也要考慮其被積函數是否為x的奇偶函數,這樣來簡化二重積分的計算,當積分區域D關于原點對稱,我們往往要考慮其被積函數是否是為x,y的奇偶函數。有些題目中可能積分區域對稱性不是那么明顯,需要我們稍微分割下來看其是否關于坐標軸對稱。這種題目在09年數一,12年數二等都出現過。
 
關于輪換對稱:對于二重積分的輪換對稱時教科書上沒有的知識點,但是考研中也是有此類題出現的,比如,05年的數二,就出現過用輪換對稱來做的選擇題。當積分區域D關于y=x對稱時或者當x, y互換后,積分區域D不變時我們往往就要往輪換對稱上考慮了。對于這種利用輪換對稱性質來簡化運算的,我們一定要掌握住,特別是數一的同學,因為在后面的三重積分、曲面積分和曲線積分中也都有坐標輪換對稱性質。
 
另外,我們在學習二重積分的性質時,應將定積分與二重積分的概念、性質加以對比學習,比較它們的相同點與不同點,使復習更有成效。對于二重積分這一部分的內容,我們不但要會計算它,關于二重積分的有關性質我們也要很熟練的掌握。這樣我們在做有關二重積分時,包括計算二重積分時,也是常常要先化簡后再計算的。對于這些性質,同學們可以對做一些題目來記憶鞏固。
 
定積分中還有定積分的幾何意義,而二重積分中也有,可以參照定積分的幾何意義來理解。而二重積分的比較性質,可加性質,包括被積函數的可加性和積分區域的可加性,這些性質與定積分中的可加性相仿,也可以對比學習理解。

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